Основные приёмы решения систем уравнений

Существует несколько общих методов преобразования систем уравнений, переводящих исходную систему в ей равносильную. Эти методы проще всего сформулировать на примере систем двух уравнений, однако соответствующие приёмы можно обобщить на системы с большим количеством уравнений.

Метод равносильного перехода

Обоснование метода. Если в системе какое-либо уравнение заменить равносильным ему, а другие оставить без изменений, то полученная система будет равносильна первоначальной.

Метод сложения

Обоснование метода. Если в системе какое-либо уравнение заменить на линейную комбинацию этого уравнения и какого-либо другого уравнения системы (или нескольких уравнений системы), а другие уравнения оставить без изменений, то полученная система будет равносильна первоначальной. На примере системы из двух уравнений это выглядит так: пусть — любые действительные числа, не равные нулю одновременно, тогда Основные аналитические способы решения систем уравнений. < f 1 ( x ; y ) = 0 ; f 2 ( x ; y ) = 0. f_(x;y)=0;\f_(x;y)=0.\end>> , равносильно: < a ⋅ f 1 ( x ; y ) + b ⋅ f 2 ( x ; y ) = 0 ; f 2 ( x ; y ) = 0. acdot f_(x;y)+bcdot f_(x;y)=0;\f_(x;y)=0.\end>>

Метод подстановки

Обоснование метода. Если в одном из уравнений системы выразить одну из переменных и полученное выражение подставить в другое уравнение системы, то полученная система будет равносильна первоначальной. На примере системы из двух уравнений это выглядит так: < x = f 1 ( y ) ; f 2 ( x ; y ) = 0. x=f_(y);\f_(x;y)=0.\end>> , равносильно: < x = f 1 ( y ) ; f 2 ( f 1 ( y ) ; y ) = 0. x=f_(y);\f_(f_(y);y)=0.\end>>

Метод разложения на множители

Обоснование метода. Если система содержит уравнение f 1 ( x ; y ) ⋅ f 2 ( x ; y ) = 0 ; (x;y)cdot f_(x;y)=0;> , то на своей области определения она равносильна совокупности двух систем, в первой из которых данное уравнение заменено на f 1 ( x ; y ) = 0 ; (x;y)=0;> , а во второй — на f 2 ( x ; y ) = 0 ; . На примере системы из двух уравнений это выглядит так: система < f 1 ( x ; y ) ⋅ f 2 ( x ; y ) = 0 ; f 3 ( x ; y ) = 0. f_(x;y)cdot f_(x;y)=0;\f_(x;y)=0.\end>> равносильна совокупности двух систем: < f 1 ( x ; y ) = 0 ; f 3 ( x ; y ) = 0. f_(x;y)=0;\f_(x;y)=0.\end>> , когда f 2 ( x ; y ) определена, и < f 2 ( x ; y ) = 0 ; f 3 ( x ; y ) = 0. f_(x;y)=0;\f_(x;y)=0.\end>> , когда f 1 ( x ; y ) (x;y)> определена.

Метод замены переменной

Обоснование метода. Если в системе функции f 1 > и f 2 > являются сложными, то есть имеют вид f 1 ( h ( x ; y ) ; g ( x ; y ) ) (h(x;y);g(x;y))> и f 2 ( h ( x ; y ) ; g ( x ; y ) ) (h(x;y);g(x;y))> , то, выполнив замену переменных u = h ( x ; y ) и v = g ( x ; y ) , получим систему, равносильную исходной. После решения новой системы относительно переменных u и v необходимо вернуться к исходным переменным и определить их значения.

Графический метод

Обоснование метода. Чтобы решить систему уравнений графическим методом, необходимо: 1) посредством равносильных преобразований системы упростить входящие в неё уравнения так, чтобы удобно было строить множества точек, задаваемые уравнениями системы; 2) в одной системе координат построить множества точек, задаваемые уравнениями системы; 3) найти координаты точек пересечения построенных линий. Координаты x и y найденных точек пресечения будут являться решениями ( x ; y ) системы. Найденные таким способом значения будут приближёнными. Необходимо подставить этот набор значений в исходную систему, проверив, получается ли при этом набор верных равенств.